Spieltheorie

1. Begriff und Entwicklung: Die Spieltheorie versucht, das rationale Entscheidungsverhalten in sozialen Konfliktsituationen abzuleiten, in denen der Erfolg des einzelnen nicht nur vom eigenen Handeln, sondern auch von den Aktionen anderer abhängt. Der Begriff "Spieltheorie" beruht darauf, daß am Anfang der Spieltheorie den Gesellschaftsspielen große Aufmerksamkeit gewidmet wurde. Als Meilenstein für die Entwicklung der Spieltheorie erwies sich das Buch von v. Neumann und Morgenstern (1944). Danach hat sich die Spieltheorie als die beherrschende Methodik in den - traditionell normativ ausgerichteten - Wirtschaftswissenschaften sowie in den sozialwissenschaftlichen Nachbardisziplinen durchgesetzt. Der Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften des Jahres 1994, der an John C. Harsanyi, John F. Nash und Reinhard Selten in Anerkennung ihrer Verdienste um die Weiterentwicklung der Spieltheorie vergeben wurde, verdeutlicht die überragende Bedeutung der Spieltheorie für die moderne Wirtschaftstheorie.
2. Die Spielformen: Spiele werden mathematisch exakt beschrieben, was eine streng mathematische Lösung der Spiele ermöglicht. - a) Die extensive Form: Die extensive Form eines Spiels läßt sich durch ihren komplettierten Spielbaum veranschaulichen. Dies soll am sogenannten Vertrauensspiel (vgl. Abbildung 1) verdeutlicht werden, dessen Parameter r, s und t die Bedingung r > s > t > 0 erfüllen. Das Spiel beginnt im oberen Knoten o, dem Spielanfang, mit Spieler 1, der sich zwischen N (Nichtkooperation) und V (Vertrauensvoller Kooperation) entscheiden muß. Nur falls 1 den Zug V wählt, muß Spieler 2 zwischen A (Ausbeutung des 1.) und G (Gerechter Aufteilung) entscheiden, womit das Spiel endet. Die unteren Knoten (ohne nach unten weiterführende Äste) heißen Endpunkte bzw. Partien des Spiels. Durch die Nutzenvektoren an den Endpunkten wird in der Reihenfolge der Spieler angegeben, wie die Spieler die jeweilige Partie bewerten. Wegen s > t ziehen z. B. beide Spieler die Partie (V, G) der Partie (N) vor. Ein Spielbaum ist ein zusammenhängender und schleifenloser Graph bestehend aus Knoten und Ästen. Für Entscheidungsknoten (mit nach unten weiterführenden Ästen) ist anzugeben, welcher Spieler (dazu zählt auch der Zufallsspieler 0 wie in Abbildung 2) hier zu wählen hat. Die umkreisten Mengen heißen Informationsbezirke: Ein Spieler weiß nur, daß er sich in diesem Informationsbezirk befindet. Bei Informationsbezirken mit mehreren Knoten wie der von Spieler 2 in Abbildung 2 weiß er jedoch nicht, an welchem Knoten er sich befindet. - Eine Entscheidung in einem Informationsbezirk muß für jeden Knoten in diesem Bezirk einen nach unten führenden Ast auswählen. Spieler 2 in Abbildung 2 kann also nur zwischen A und G entscheiden, da er über das Ergebnis des anfänglichen Zufallszuges nicht informiert wird. - Falls der Zufallsspieler 0 entscheidet, müssen den möglichen Ereignissen Wahrscheinlichkeiten zugewiesen werden (z. B. w für L und 1-w für R in Abbildung 2). Den Endpunkten bzw. Partien sind (kardinale) Nutzenvektoren zuzuordnen, die angeben, wie die Spieler den jeweiligen Spielverlauf bewerten. - b) Die Normalform: Die Normalform (S1, ..., Sn; u1, ..., un) eines n-Personen-Spiels mit den Spielern 1, ..., n beschreibt ein Spiel rein statisch. Für Spieler i = 1, ..., n bezeichnet
die Menge seiner Strategien si und ui seine Auszahlungsfunktion. Allen Strategienvektoren
mit si Si für i = 1, ..., n ordnet die Auszahlungsfunktion ui kardinale Nutzenwerte ui (s) zu, die angeben, wie Spieler i die durch s implizierten Ergebnisse bewertet. Für Abbildung 1 hat man z. B. S1={N, V} und S2={A, G}. Die Auszahlungsfunktionen u1 und u2 werden durch die Bimatrix 3 beschrieben, in der jedem Strategievektor s=(s1, s2) ein Matrixfeld mit dem Auszahlungsvektor u(s)=(u1 (s), u2 (s)) entspricht. In Abbildung 2 besitzt Spieler 1 natürlich vier Strategien, da S1={(N, ), (N, ), (V, ), (V, )}. -
Bekannte Spiele mit zwei Spielern (n=2), die über jeweils zwei Strategien verfügen, sind das Gefangenendilemma (Bimatrix 4) sowie der Kampf der Geschlechter (Bimatrix 5). Sind Spiele wie die Bimatrixspiele 4 und 5 symmetrisch, so genügt es, wegen ui (sik, sjl)=uj (sil, sjk) nur eine Nutzenbewertung anzugeben. Das gleiche gilt für die sogenannten 2-Personen-Nullsummenspiele mit u1 (s)+u2 (s)=0 für alle Strategievektoren s=(s1, s2), da u2 (s)= – u1 (s). - c) Die Agentennormalform: Wer ist eigentlich ein Spieler in einer gegebenen Situation? Die Agentennormalform beantwortet diese Frage in extremer, aber überzeugender Weise: Jeder Zug im Verlauf eines Spiels verlangt nach einem Spieler im Sinne eines unabhängigen Entscheiders, da die lokale Interessenlage einer Person oder Institution von Informationsbezirk zu Informationsbezirk divergieren kann. - Generell verfügt ein Spiel in Agentennormalform daher über so viele Spieler bzw. Agenten, wie es Informationsbezirke persönlicher Spieler - dies schließt den Zufallsspieler 0 aus - gibt. Natürlich bewerten verschiedene Agenten derselben Person alle Partien gleich. - d) Die charakteristische Funktion: Abstrahieren die Normalformen nur von der natürlichen Dynamik (Zug um Zug) eines Spiels, so vernachlässigt die charakteristische Funktion darüber hinaus auch noch die strategischen Aktionen der Spieler. Es wird lediglich für jede Teilgruppe (Koalition) der Spieler spezifiziert, welche Auszahlungen diese Koalition ihren Mitgliedern garantieren kann. - Ist n die Anzahl der Spieler und N={1, ..., n} die Spielermenge, so wird allen nicht-leeren Teilmengen bzw. Koalitionen C N durch die charakteristische Funktion V die Menge V(C) der Auszahlungsvektoren
zugeordnet, die C sichern kann. In Abbildung 1 gilt z. B. V ({1})={(t)}=V ({2}) und V ({1,2})={(t,t), (0,r), (s,s)}. - Welche Auszahlungsvektoren eine Koalition sichern kann, ist leider nicht immer eindeutig feststellbar. Traditionell geht man davon aus, daß die Mitglieder von C mit dem ungünstigsten Verhalten der "Gegenkoalition" - das sind die Spieler j C - rechnen sollten. - Lassen sich die Auszahlungen der Spieler in jeder Koalition beliebig umverteilen (man spricht dann von Seitenzahlungen oder transferierbarem Nutzen), so kann V(C) einfach durch die maximale Nutzensumme v(C) der Mitglieder von C beschrieben werden, d. h.
So gilt
v({1}) = t = v({2}), v({1, 2}) = max. {r, 2s} für Abbildung 1 und analog
v({1}) = 1 = v({2}), v({1, 2}) = 4 für Bimatrix 4,
v({1}) = 0 = v({2}), v({1, 2}) = 3 für Bimatrix 5.
3. Lösungskonzepte: a) Allgemein: Lösungskonzepte sollen das individuell rationale Verhalten in strategischen Spielen definieren. Wird ein Spiel nur durch seine charakteristische Funktion erfaßt, so kann natürlich nicht das individuelle Verhalten selbst, sondern nur die Auszahlungsaufteilung beschrieben werden. Im folgenden wird daher von Spielen in extensiver Form oder in Normalform ausgegangen. In derartigen Spielen sollte eine Lösungskonzeption diejenigen Strategien der Spieler auszeichnen, die den intuitiven Anforderungen an rationales Entscheiden genügen. - Geht man von der extensiven Form eines Spiels aus, so muß eine Strategie si Si eines Spielers i für jeden Informationsbezirk einen Zug auswählen. Rationales Verhalten läßt sich nur definieren, falls alle Spieler vollständige Verhaltenspläne, d. h. Strategien auswählen, auch wenn dies kontrafaktische Überlegungen erfordert.
b) Dominierte und inferiore Strategien: Für einen Strategievektor s = (s1, ..., sn) eines n-Personen-Spiels sei
der n-1-Vektor ohne i-te Komponente und
der Strategievektor bestehend aus i und s-i. Eine Strategie si heißt dominiert, falls Spieler i über eine alternative Strategie i verfügt, für die ui (i, s-i) > ui (si, s-i) für alle Vektoren s-i mit strikter Ungleichung für wenigstens einen Vektor s-i gilt. In Abbildung 1 ist die Strategie s2 = G von Spieler 2 dominiert, da r > s. Dominierte Strategien sollte ein Spieler vermeiden, da es alternative Strategien gibt, die niemals schlechter, aber manchmal besser sind, also das Risiko einer falschen Entscheidung verringern. - Vermeiden alle Spieler ihre dominierten Strategien und ist allgemein bekannt, daß alle dominierten Strategien vermieden und damit eliminiert werden, so können sich neue Strategien als dominiert erweisen. Eliminiert man z. B. in Abbildung 1 die dominierte Strategie s2 = G, so ist nunmehr s1 = V dominiert. Man hat damit das Vertrauensspiel der Abbildung 1 gelöst, da nur noch der Strategienvektor s = (N, A) übrigbleibt. - Gilt
so wird i beste Antwort auf s-i genannt. Eine Strategie si heißt inferior, falls eine andere Strategie "häufiger" beste Antwort ist: Bezeichnet Bi (si) die Menge der Vektoren s-i, auf die si beste Antwort ist, so ist si inferior, falls eine Strategie i existiert, mit Bi (i) Bi (si), d. h. i ist immer beste Antwort, falls das für si zutrifft, aber nicht umgekehrt. In Abbildung 1 ist s21 = G dominiert und inferior. Auch für die Bimatrix 4 sind die Strategien s1i für i = 1, 2 dominiert und inferior. Inferiore Strategien müssen nicht dominiert sein, wie folgendes 2-Personen Nullsummenspiel beweist (vgl. Abb. "Bimatrix 6"), das nur durch die Auszahlungen u2 (s) für alle sechs Strategievektoren s=(s1, s2) beschrieben werden kann. Obwohl nur s21 beste Antwort auf s11 und nur s23 beste Antwort auf s12 ist, erweist sich die Strategie s22 als undominiert.
Individuelle Rationalität verlangt, daß ein Spieler i an das Verhalten s-i seiner Mitspieler optimal angepaßt ist. Inferiore Strategien sind fragwürdig, weil es andere Strategien gibt, die sich auf vielfältigere Verhaltensweisen s-i als beste Antwort erweisen. Sie sollten daher als Lösungsstrategien ausscheiden und - ähnlich wie dominierte Strategien - wiederholt eliminiert werden. - c) Gleichgewichte: Der Begriff des Gleichgewichts ergibt sich aus den Anforderungen, daß erstens alle Spieler beste Antworten auf das Verhalten der Mitspieler auswählen und daß zweitens die Erwartungen bzgl. des Verhaltens der Mitspieler stets rational sind. Ein Gleichgewicht ist damit ein (Strategien-)Vektor
wechselseitig bester Antworten, d. h. für alle Spieler i = 1, ..., n des n-Personen-Spiels muß gelten, daß
für alle Strategien si Si von Spieler i gilt. Würde ein Strategievektor s allgemein erwartet, der ungleichgewichtig ist, so würde sich diese Erwartung offenbar selbst zerstören, da dann mindestens ein Spieler mehr verdienen würde, falls er von s abweicht. Man kann daher Gleichgewichte - und nur diese! - als selbstbestätigende allgemeine Verhaltenserwartungen charakterisieren. - Andere Begründungen für das Gleichgewicht basieren auf einleuchtenden Axiomen (z. B. dem (umgekehrten) Konsistenzaxiom, das auch dann einen Anreiz für Gleichgewichtsverhalten postuliert, wenn andere schon ihre Gleichgewichtsstrategie gewählt haben) sowie auf Anpassungsprozessen wie etwa der besten Antwortdynamik, die schon von Cournot (1838) verwandt wurde. - In Abbildung 1 ist
das einzige Gleichgewicht; in Bimatrix 4 ist
eindeutiges Gleichgewicht, während in Bimatrix 5 sowohl
als auch
gleichgewichtig sind. - Im Nullsummenspiel der Bimatrix 6 erweist sich hingegen kein Strategienvektor
als gleichgewichtig. - Um die Nichtexistenz von Gleichgewichten wie im Matrixspiel 6 zu vermeiden, erweitert man die strategischen Möglichkeiten der Spieler. Betrachtet sei eine Normalform
für die alle Strategienmengen Si endlich sind. Für alle si in Si sei qi (si) die Wahrscheinlichkeit, mit der Spieler i die Strategie si verwendet. Eine gemischte Strategie qi von Spieler i = 1, ..., n ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über Si, d. h.
und
Da alle Spieler j = 1, . . ., n ihr Verhalten unabhängig voneinander randomisieren, ist die Realisationswahrscheinlichkeit eines Strategievektors s durch
bestimmt. Bezeichnet q=(q1, ..., qn) einen Vektor gemischter Strategien, Qi die Menge gemischter Strategien qi des Spielers i=1, ..., n und S die Menge der Strategievektoren s, so ist die gemischte Erweiterung von (S1, ..., Sn; u1, ..., un) durch die Normalform (Q1, ..., Qn; U1, ..., Un) mit den Auszahlungsfunktionen
bestimmt. Gemäß der wichtigen Existenzaussage von Nash (1949) verfügt jede derartige gemischte Erweiterung über mindestens ein Gleichgewicht und jedes symmetrische derartige Spiel über mindestens ein symmetrisches Gleichgewicht. Die gemischte Erweiterung des Matrixspiels 6 verfügt über die Gleichgewichte
Im symmetrischen Bimatrixspiel 5 gibt es außer s1 und s2 noch das symmetrische Gleichgewicht
Akzeptiert man die Idee der gemischten Erweiterung, daß Spieler ihre Strategien zufällig auswählen, so ist das Problem nicht die Existenz von Gleichgewichten, sondern ihre zu große Vielfalt. Um diese Vielfalt mehr oder minder einzuschränken, hat man den Gleichgewichtsbegriff verfeinert (vgl. den Überblick in van Damme, 1987) und auch Theorien der Gleichgewichtsauswahl entwickelt (vgl. z. B. Harsanyi und Selten, 1988).
d) Teilspielperfektheit: Die Situation nach einigen Zügen im Verlauf eines extensiven Spiels kann als eigenständiges Spiel aufgefaßt werden, falls jeder Spieler vollständig über die vorangegangenen Züge informiert wurde. Derartige Substrukturen werden Teilspiele genannt. Generell beginnt in jedem Entscheidungsknoten eines Spielbaums ein Teilbaum, der alle von dort aus weiterführenden Äste und Knoten umfaßt. Enthält jeder Informationsbezirk, der einen Knoten des Teilbaums umfaßt, nur Knoten dieses Teilbaumes, so entspricht dem Teilbaum ein Teilspiel. Mit anderen Worten: Teilspiele sind informationsmäßig abgeschlossene Teilbäume. - Das Ultimatumsspiel der Abbildung 5 verfügt über zwei echte Teilspiele, die nach dem Zug H bzw. L von Spieler 1 beginnen. Von den Gleichgewichten
schreibt lediglich s1 Entscheidungen für beide Teilspiele vor, die Gleichgewichte der Teilspiele sind. Selten (1965) hat deshalb gefordert, nur solche Gleichgewichte s als Lösung des Gesamtspiels zu akzeptieren, deren Anweisungen für jedes Teilspiel ein Gleichgewicht des Teilspiels darstellen. Man nennt derartige Gleichgewichte teilspielperfekt. Sie erfüllen die Gleichgewichtseigenschaft nicht nur für das Gesamtspiel, sondern für alle seine Teilspiele. - In Abbildung 5 ist nur die Anweisung J im Teilspiel nach H sowie j im Teilspiel nach L gleichgewichtig. Von den drei Gleichgewichten s1, s2 und s3 ist also nur s1 teilspielperfekt.
e) Perfekte und sequentielle Gleichgewichte: Anhand von Abbildung 2 sowie dem Fall u, v > r – s soll verdeutlicht werden, daß auch teilspielperfekte Gleichgewichte fragwürdig sein können. Der Strategievektor s=((N, ), A) ist gleichgewichtig und - da das Spiel über keine echten Teilspiele verfügt - auch teilspielperfekt. Dennoch ist wegen u, v > r – s die Wahl von A durch Spieler 2 unsinnig. Spieler 2 wird nur deshalb nicht bestraft, da er wegen s1=(N, ) überhaupt nicht zum Zuge kommt. - Um Fehlentscheidungen wie die von Spieler 2 auszuschließen, hat Selten (1975) kleine Fehlerwahrscheinlichkeiten bei der Strategiewahl eingeführt, die mit Wahrscheinlichkeit Null erreichte Entscheidungsknoten ausschließen und damit jede Fehlentscheidung bestrafen. In einem sogenannten perturbierten Spiel ist die Mindestwahrscheinlichkeit (si) für alle Strategien si aller Spieler i positiv, d. h. jedes Gleichgewicht eines -perturbierten Spiels ist in vollständig gemischten Strategien. Ein Gleichgewicht q des unperturbierten Spiels mit
für alle si heißt perfekt, falls es sich durch Gleichgewichte in -perturbierten Spielen approximieren läßt ( —> q für (si) —> 0 für alle si). Perfekte Gleichgewichte reagieren also robust auf kleine Perturbationen, die man anschaulich auch als Zittern bei der Strategiewahl beschreibt. - In Abbildung 2 mit u, v > r – s impliziert sowohl (L) > 0 als auch (R) > 0, daß Spieler 2 seinen Zug G mit maximaler Wahrscheinlichkeit realisiert. Das Gleichgewicht
läßt sich also nicht durch Gleichgewichte in -perturbierten Spielen approximieren, d. h. s ist kein perfektes Gleichgewicht. - Das nahezu identische Konzept sequentieller Gleichgewichte (Kreps und Wilson, 1982) verzichtet - allerdings nur vordergründig - auf Zittern bei der Strategiewahl. Sequentielle Gleichgewichte spezifizieren nicht nur die Strategiewahl der Spieler, sondern auch ihre Erwartungen (vor allem in den von der Gleichgewichtspartie unerreichten mehrelementigen Informationsbezirken). Perfekte Gleichgewichte tun dies nur implizit, nämlich durch die -induzierten Erwartungen der Sequenz approximierenden Gleichgewichte. - Sequentielle Gleichgewichte sind stets teilspielperfekt, aber nicht umgekehrt. Perfekte Gleichgewichte sind immer auch sequentielle, wobei die Umkehrung nicht immer, aber fast immer zutrifft (in fast allen Spielen stimmen die beiden verfeinerten Gleichgewichtsbegriffe überein). - Ein Gleichgewicht
sei strikt genannt, falls jeder Spieler i=1, ..., n verliert, sofern er als einziger von seiner Gleichgewichtsstrategie si* abweicht. Strikte Gleichgewichte sind perfekt und damit auch sequentiell (rational). Leider existieren nicht immer strikte Gleichgewichte (vgl. z. B. Abbildung 1 oder Bimatrix 6). Existieren sie, so können mehrere strikte Gleichgewichte vorliegen (vgl. z. B. die Bimatrix 5). - Verfeinerte Gleichgewichtsbegriffe wie (teilspiel-)perfekte oder sequentielle Gleichgewichte können gewisse nicht-strikte Gleichgewichte für die Lösung ausschließen. Sie können aber in Spielen mit mehreren strikten Gleichgewichten nichts darüber aussagen, welches dieser strikten Gleichgewichte lösungsgeeigneter ist. Dieser - aber nicht nur dieser - Aufgabe stellt sich die Theorie der Gleichgewichtsauswahl.
f) Gleichgewichtsauswahl: Eine Theorie der Gleichgewichtsauswahl: wurde zuerst von Nash (1953) für eine Klasse von Verhandlungsspielen vorgeschlagen. Die erste umfassende Theorie zur Gleichgewichtsauswahl in endlichen Spielen haben Harsanyi und Selten (1988) entwickelt. Wir können hier nur kurz andeuten, wie man zwischen strikten Gleichgewichten auswählen kann. Im symmetrischen Bimatrixspiel 5 wäre jede Entscheidung für eines der beiden strikten Gleichgewichte rein willkürlich. Das Symmetrieaxiom würde daher verlangen, das vollständig gemischte und damit nicht-strikte Gleichgewicht
als Lösung auszuwählen. - Die Multiplizität von Gleichgewichten in 2-Personen-Nullsummenspielen wie in Bimatrix 6 ist übrigens unproblematisch, da in derartigen Spielen die Gleichgewichtsstrategien beliebig ausgetauscht werden können, ohne die Gleichgewichtigkeit in Frage zu stellen oder die Auszahlungserwartungen der Spieler zu verändern.
4. Einige besondere Probleme: Bislang haben wir uns auf die beiden Hauptaufgaben der Spieltheorie konzentriert, strategische Konflikte durch Spielformen zu beschreiben und durch Lösungskonzepte das individuell rationale Entscheidungsverhalten festzulegen. Im folgenden sollen basierend auf diesen Voraussetzungen einige ausgewählte Probleme diskutiert werden, deren spieltheoretische Behandlung sich als einflußreich erwiesen hat. a) Wiederholte Spiele: Wird ein (Basis-)Spiel wiederholt, so muß man das (Super-)Spiel analysieren, das alle Spielrunden umfaßt. Um das Superspiel zu definieren, ist natürlich noch festzulegen, welche Informationen die Spieler über die Ergebnisse der vorherigen Runden erhalten und wie sie die möglichen Sequenzen von Rundenresultaten bewerten. Wir wollen hier davon ausgehen, daß alle Spieler alle vorherigen Entscheide erfahren, und daß sie die möglichen Ergebnissequenzen gem. ihrer langfristigen Durchschnittsauszahlung (bei unendlicher Rundenzahl z. B. gem. dem limes inferior) bewerten. - Annahmen: Konkret sei davon ausgegangen, daß das Vertrauensspiel der Abbildung 1 unendlich oft wiederholt wird. Eine Strategie im Superspiel muß dann für jede mögliche Sequenz bisheriger Rundenresultate eine Entscheidung für N oder V durch Spieler 1 vorschreiben. Analog muß für jede solche Sequenz und die anschließende Wahl von V durch Spieler 1 die Strategie eine Wahl zwischen A und G vorsehen. Als Beispiel für einen solchen Strategievektor = (,) soll uns der Vektor der "Grimmstrategien" dienen, gem. dem Spieler 1 so lange V wählt und Spieler 2 so lange mit G auf V reagiert, wie niemand davon abweicht, und gem. dem Spieler 1 ewiglich N und Spieler 2 ewiglich mit A auf V reagiert, falls von der vertrauensvollen Kooperation (V, G) nur einmal abgewichen wurde. - Die permanente Wahl von N und A ist ein teilspielperfektes Gleichgewicht des Superspiels, da wegen der Wahl von A Spieler 1 sich nicht verbessern kann und auch Spieler 2 nicht besser entscheiden könnte. Daß der Vektor der "Grimmstrategien" ein teilspielperfektes Gleichgewicht darstellt, setzt weiterhin voraus, daß einseitigen Abweichen von nicht lohnt. Nun impliziert für beide Spieler die konstante und damit durchschnittliche Auszahlung in Höhe von s. Weicht nur ein Spieler einmal ab, so daß das Ergebnis (V, G) in Frage gestellt wird, erhalten fortan beide Spieler konstant die Auszahlung t, die damit ihre Durchschnittsauszahlung ist. Einseitiges Abweichen führt also stets zu einer Auszahlungsminderung, d. h. der Vektor der "Grimmstrategien" ist ein teilspielperfektes Gleichgewicht im Superspiel mit unendlicher Rundenzahl. - Die Existenz derart überraschender teilspielperfekter Gleichgewichte wird durch sog. Folk-Theoreme bewiesen, deren konzeptionelle Rechtfertigung allerdings auf tönernen Füßen steht (vgl. Güth, Leininger und Stephan, 1993). - b) Unvollständige Information und Reputation: Um den Begriff unvollständiger Information zu verdeutlichen, kann man den Zufallszug in Abbildung 2 als rein fiktiv interpretieren. Für u=v sowie xy würde der Zufallszug nur noch ausdrücken, daß Spieler 2 sich nicht sicher ist, ob Spieler 1 den Spielausgang (V,A) bzw. (, A) mit x oder y bewertet. Die Wahrscheinlichkeit w wäre dann die subjektive Wahrscheinlichkeit, mit der Spieler 2 den x-Typ von Spieler 1 erwartet. Diese subjektiven Erwartungen von Spieler 2 bzgl. des x- bzw. y-Typs von Spieler 1 sollten ferner allgemein bekannt sein. - Kennt nur ein Spieler selbst seinen eigenen Typ, während andere nur diesbezügliche probabilistische Erwartungen hegen, so spricht man von unvollständiger, speziell asymmetrischer Information. Basierend auf den Vorschlag von Harsanyi (1967/8) kann ein solches Informationsdefizit durch Einbeziehung eines fiktiven Zufallszugs in stochastische Unsicherheit transformiert werden, dessen Ergebnis teilweise unbeobachtbar ist und dessen Wahrscheinlichkeiten die subjektiven Erwartungen der nicht informierten Spieler widerspiegeln. - Reputationseffekte kann man z. B. erzielen, wenn ein Spiel mit unvollständiger Information wiederholt wird. Generell basieren Reputationseffekte auf perfekten oder sequentiellen Gleichgewichten, gem. denen ein Typ eines Spielers das Verhalten eines anderen Typs imitiert, d. h. man investiert in die Reputation, vom anderen Typ zu sein. Spätestens gegen Ende des Spiels wird dann die so aufgebaute Reputation opportunistisch ausgebeutet, da sie sich nicht mehr auszahlt. - c) Allgemein bekannte Spielregeln: Der normativen Ausrichtung der Spieltheorie entsprechend haben wir bislang rationale Spieler unterstellt sowie "daß alle Spieler wissen, daß alle Spieler rational sind" und "daß alle Spieler wissen, daß alle Spieler wissen, daß alle Spieler rational sind" etc. Wenn sich dies unendlich fortsetzen läßt, sagt man, daß die Rationalität aller Spieler allgemein bekannt ist. - Betrachtet man Abbildung 1 mit der eindeutigen Lösung (N, A), so stellt sich die - allerdings unerhebliche - Frage, ob Spieler 2 weiterhin an die Rationalität von Spieler 1 glauben wird, falls er wirklich zwischen A und G entscheiden muß. - d) Evolutionäre S.: Von evolutionärer Spieltheorie spricht man meist dann, wenn das Verhalten der Spieler nicht durch rationale Entscheidungskalküle abgeleitet wird, sondern als Ergebnis von kulturellen oder genetischen Evolutionsprozessen begründet wird. Oft kann man die stabilen Ergebnisse solcher Prozesse auch durch statische Stabilitätskonzepte charakterisieren. Ein derartiges Konzept ist die evolutionär stabile Strategie, auch kurz ESS genannt (Maynard Smith und Price, 1973). - Wie in der Evolutionsbiologie üblich sei von einem symmetrischen 2-Personen-Spiel ausgegangen, das sich durch den für beide Spieler gemeinsamen Strategieraum
sowie durch die Auszahlungsfunktion bzw. Fitness u(m, ) des Spielers 1 für alle Paare m, M beschreiben läßt. Eine Strategie m* M heißt evolutionär stabil, falls die Bedingungen (i)
und (ii)
mit u(m*, m*) = u(m, m*), erfüllt sind. Gemäß der Bedingung (i) erweist sich die Strategiekombination (m*, m*) als symmetrisches Gleichgewicht. Evolutionstheoretisch besagt (i) natürlich, daß nur die am besten angepaßte Strategie bzw. Mutante überleben kann (survial of the fittest). Durch (ii) wird sichergestellt, daß eine alternative beste Antwort m auf m* sich in einer m*-monomorphen Population nicht ausbreiten kann: Sobald dies nämlich der Fall wäre, würde man mit positiver Wahrscheinlichkeit auf m-Gegenspieler treffen, gegen die m* erfolgreicher als m abschneidet. Der Anteil an m-Spielern würde also wieder zurückgedrängt. Im Falke und Taube-Spiel der Abbildung 6 ist nur m* evolutionär stabil, falls V > C > 0, während sich für C > V > 0 nur eine vollständig gemischte Strategie q* mit
als evolutionär stabil erweist.
Im letzteren Fall gilt natürlich u(q, q*) = u(q*, q*) für alle gemischten Strategien q, so daß die Bedingung u(q*, q) > u(q, q) für alle qq* nachgewiesen werden muß. In Abbildung 7 ist keine Strategie m = m1, m2, m3 evolutionär stabil, da m1 und m3 die Bedingung (i) verletzten, während m2 instabil ist, da m3 eine alternative beste Antwort auf m2 darstellt und u(m2, m3) = u(m3, m3) gilt, d. h. m2 ist nur neutral stabil (Maynard Smith, 1982). m2 kann auch als limes evolutionär stabil nachgewiesen werden (Selten, 1988).
Neutral stabile und limes evolutionär stabile Strategien vergröbern das Konzept evolutionär stabiler Strategien, um die Existenz zu gewährleisten. Häufig benutzt man das Konzept evolutionär stabiler Strategien oder analoge Stabilitätsbedingungen z. B. für explizit dynamische Beschreibungen der Evolutions- bzw. Lernprozesse, um Gleichgewichte, zum Teil auch verfeinerte Gleichgewichtskonzepte oder Ideen zur Gleichgewichtsauswahl zu rechtfertigen (vgl. Weibull, 1995). - e) Kooperative Spiele: Die Theorie kooperativer Spiele ist häufig von beeindruckender mathematischer Eleganz gekennzeichnet, hat aber in den Wirtschafts- und Sozialwissenschaften wenig Anklang gefunden. - Wir wollen daher nur ganz knapp einige Konzepte der kooperativen Spieltheorie vorstellen, die wir durch den einfachen Fall von charakteristischen Funktionen mit Seitenzahlungen verdeutlichen wollen. - Die Begriffsbildung kooperative Spieltheorie ist übrigens sehr irreführend. Auch nichtkooperative Spiele in extensiver oder (Agenten-) Normalform können kooperatives Verhalten abbilden. In der kooperativen Spieltheorie wird dieses einfach vorausgesetzt, während es in der nichtkooperativen Theorie durch individuelle Entscheidungen begründet werden muß. Nur die nichtkooperative Theorie kann daher Aussagen über die Bedingungen treffen, die für Kooperation erforderlich sind. - Bezeichnet N die Spielermenge und v(C) den maximalen Gewinn der Mitglieder der Koalition C N, so ist das wichtige Konzept des Kerns durch die Menge der Auszahlungsvektoren
für C N mit Gleichheit für C=N bestimmt. Gemäß dem mengenwertigen Kern-Konzept verlangt jede Koalition für ihre Mitglieder so viel, wie sie sich selbst sichern kann. Allerdings kann der Kern leer sein, z. B. für N = {1, 2, 3}, v (C) = 1, falls C mindestens zwei Mitglieder enthält, und v (C) = 0 sonst. Da
folgt 2 (x1+x2+x3) > 3 und damit ein Widerspruch zu x1+x2+x3=1. - Andere mengenwertige Lösungskonzepte sind die stabilen Mengen (von Neumann und Morgenstern, 1944), die Verhandlungsmengen (Aumann und Maschler, 1964), sowie der Kernel (Davis und Maschler, 1965), die zum Teil stets nicht-leer sind. Insbes. durch die frühe Anwendung von Edgeworth (1881) hat sich der Kern trotz seiner gelegentlichen Leere als für die Wirtschaftstheorie bedeutsames Lösungskonzept erwiesen. Außer den mengenwertigen Lösungen gibt es die sogenannten Wertkonzepte der kooperativen S.; vor allem die kooperative Verhandlungslösung von Nash (1953), der Wert von Shapley (1953) sowie der von Schmeidler (1969) vorgeschlagene Nucleolus. Die größtenteils axiomatisch begründbaren Konzepte beschreiben Auszahlungsaufteilungen, die gewissen intuitiven Anforderungen entsprechen. Die Wertkonzepte bieten daher Ansatzpunkte, eine willkürfreie Kostenträgerrechnung zu entwickeln.
5. Fazit: Die Spieltheorie erlaubt es, soziale Konfliktsituationen, die wir strategische Spiele nennen, facettenreich abzubilden und mathematisch streng zu lösen. Leider muß auf Grund der extremen Rationalitätsanforderungen die deskriptive Bedeutung der Spieltheorie als überaus fraglich angesehen werden, was natürlich für die gesamte normativ ausgerichtete Wirtschaftswissenschaft zutrifft. Kein Mensch wird jemals so rational sein, wie es den Spielern durch die spieltheoretischen Lösungskonzepte unterstellt wird. Menschen unterliegen kognitiven Beschränkungen, die perfekt rationales Verhalten in komplexen Spielen - wie z. B. dem Schachspiel - ausschließen. Man sollte jedoch nicht die normative Fragestellung unterschätzen: Oft interessiert uns mehr, wie man hätte entscheiden sollen, als warum man falsch gewählt hat. Darüber hinaus bedienen wir uns oft der normativen Theorie, um wirkliches Verhalten einzuordnen (z. B. bei sog. Entscheidungsanomalien). Auf keinen Fall kann man aber den homo oeconomicus der Neoklassik akzeptieren, aber den rationalen Spieler ablehnen. Beide sind perfekt rational.
Literatur: Aumann, R. J., Maschler, M., The bargaining set for cooperative games, Advances in game theory (Hrsg.: Dresher, M., Shapely, L. S., Tucker, A. W.) Princeton, NJ 1964; Cournot, A., Recherches sur les principes mathématique de la théorie des richesses, Paris 1838; van Damme, E., Stability and perfection of Nash equilibria, Berlin 1987; Davis, D., Maschler, M., The kernel of a cooperative game, in: Naval Research Logistics Quarterly 12 (1965), Spieltheorie 223-246; Edgeworth, F., Mathematical psychics, London 1881; Güth, W., Spieltheorie und ökonomische (Bei)Spiele, Heidelberg, Berlin, New York 1992; Harsanyi, I. J., Games with incomplete information played by "Bayesian" players, part I: The basic model, part II: Bayesian equilibrium points, part III: The basic probability distribution of the game, Management Science 14 (1967/68), Spieltheorie 159-182, 320-334, 486-502; Harsanyi, I. J., Selten, R., A general theory of equilibrium selection in games, Cambridge Mass. 1988; Holler, M. D., Illing, G., Einführung in die Spieltheorie, Heidelberg 1993: Kreps, D. M., Wilson, R., Sequential equilibria, in: Econometrica 50 (1982), Spieltheorie 863-894; Luce, R., Raiffa, H., Games and decisions, New York 1957; Maynard Smith, J., Evolution and the theory of games, Cambridge 1982; Maynard Smith, J., Price G. R., The logic of animal conflict, in: Nature 246 (1973), Spieltheorie 15-18; Nash, J. F., Equilibrium points in n-person games, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 36 (1950), Spieltheorie 48-49; Nash, J. F., Two-person cooperative games, in: Econometrica 21 (1953), Spieltheorie 128-140; von Neumann, J., Morgenstern, O., Theory of games and economic behavior, Princeton 1944; Owen, J., Game theory, Saunders, Philadelphia 1968; Schmeidler, D., The nucleolus of a characteristic function game, in: SIAM Journal of Applied Mathematics, 17 (1969), Spieltheorie 1163-1170; Selten, R., Spieltheoretische Behandlung eines Oligopolmodells mit Nachfrageträgheit, Teil I: Bestimmung des dynamischen Preisgleichgewichts, Teil II: Eigenschaften des dynamischen Preisgleichgewichts, JITE, 121 (1965), Spieltheorie 301-324, 667-689; Selten, R., Reexamination of the perfectness concept for equilibrium points in extensive games, in: International Journal of Game Theory, 4 (1975), Spieltheorie 25-55; Selten, R., Evolutional-Stability in extensive two-person games, - correction and further development, in: Math. Social Science, 16 (1988), Spieltheorie 223-266; Shapely, L. S., A value for n-person games, in: Kuhn, H. W., Tucker, A. W. (Hrsg.), Contributions to the theory of games II, Princeton, NJ 1953; Weibull, J., Evolutionary Game Theory, Cambridge Mass. 1995.

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