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quadratisches Optimierungsproblem
quadratisches Programmierungsproblem.
I. Charakterisierung: Mathematisches Optimierungsproblem der Form:
Es besteht neben den Nichtnegativitätsrestriktionen (3) ausschließlich aus linearen Restriktionen (2) und einer quadratischen Zielfunktion (1). Ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit läßt sich dabei von ckj = cjk für k = 1, 2, ... , n, j = 1, 2, ... , n ausgehen. - Konvexität: Sind sämtliche Eigenwerte der Matrix (ckj) positiv, so ist die Zielfunktion (1) und damit auch das gesamte Optimierungssystem ((1) - (4)) konvex (konvexe Optimierung).
II. Kuhn-Tucker-Bedingungen: Unter Verwendung der Abkürzungen lassen sich die Kuhn-Tucker-Bedingungen wie folgt formulieren:
III. Lösungsverfahren: Grundsätzlich sind sämtliche Verfahren der nichtlinearen Optimierung bzw. der konvexen nichtlinearen Optimierung anwendbar. - Als geeigneter hat sich jedoch das Verfahren von Wolfe (1959) erwiesen, bei dem es sich um eine Variante der Zwei-Phasen-Simplexmethode handelt. Dieses Verfahren setzt bei den (hier notwendigen und hinreichenden) Kuhn-Tucker-Bedingungen (5) - (12) an und versucht, mit Hilfe eines künstlichen Optimierungssystems eine zulässige Lösung für das Teilsystem ((5) - (10)) zu bestimmen. Durch eine Zusatzvorschrift wird dabei garantiert, daß nie xj und uj bzw. und vi gleichzeitig Basisvariablen und damit die Restriktionen (11) und (12) stets erfüllt sind. Modifikationen des Verfahrens von Wolfe sind auch in Computerprogrammen zur Lösung q. O. implementiert.
IV. Anwendung: quadratisches Optimierungsproblem O. ergeben sich in erster Linie im Zusammenhang mit theoretischen Überlegungen in der Volks- und Betriebswirtschaftslehre (gewisse Produktionsmodelle, Markowitz-Modelle der Portfolio Selection) sowie in der Statistik bzw. Ökonometrie (v. a. lineare Regressionsanalyse). Direkte Anwendungen aus der betrieblichen Praxis sind dagegen nur wenige (so etwa bei der Personalentwicklungsplanung) bekannt.
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