Mischungsproblem

I. Charakterisierung: Standardproblem des Operations Research (OR). - Problembeschreibung: Es existieren verschiedene Güter (Einsatzgüter) mit einem jeweils ganz bestimmten spezifischen Gehalt an gewissen interessierenden Stoffen. Von jedem Einsatzgut ist jeweils nur eine beschränkte Gütermenge zu einem vorgegebenen Preis verfügbar. Die Einsatzgüter sollen so "vermischt" werden, daß daraus eine bestimmte Gütermenge eines anderen Gutes (Mischung) mit einem bestimmten gewünschten Stoffgehalt entsteht. - Gesucht sind diejenigen Mengeneinheiten der Einsatzgüter, die unter diesen Bedingungen miteinander zu vermischen sind, so daß die Kosten der Mischung minimiert werden.

(I = Indexmenge der (relevanten) Stoffe (hier I = {1, 2, ... , m}; J = Indexmenge der Einsatzgüter (hier J = {1, 2, ... , n}; cj = Preis pro Mengeneinheit des Einsatzgutes j (jJ); aij = Gehalt an Stoff i (iI) pro Mengeneinheit des Einsatzgutes j (jJ); bi = Mindestgehalt an Stoff i (iI) pro Mengeneinheit der gewünschten Mischung; i = Maximalgehalt an Stoff i (iI) pro Mengeneinheit der gewünschten Mischung; x* = gewünschte Mengeneinheiten der Mischung; j = maximal verfügbare Menge des Einsatzgutes j (jJ); xj = (zu bestimmende) Einsatzmenge des Einsatzgutes j (jJ); 0 = Gesamtkosten der Mischung). Das vorliegende System ((1) - (5)) ist ein lineares Optimierungssystem (lineare Optimierung). Teilsystem (2) sichert das Einhalten des gewünschten Stoffgehalts bzgl. der Mischung innerhalb gewisser Unter- bzw. Obergrenzen. (3) bewirkt, daß sich die Einsatzgüter zur gewünschten Menge der Mischung ergänzen. In (4) sind neben den üblichen Nichtnegativitätsbedingungen die Grenzen der Verfügbarkeit bei den einzelnen Einsatzgütern erfaßt.
II. Lösungsverfahren: Eine optimale Lösung des Systems ((1) - (5)) läßt sich mit jeder Simplexmethode bestimmen. Zur Lösung realer Mischungsproblem gibt es darüber hinaus eine Reihe von Softwarepaketen (insbes. auch für den Einsatz auf Personalcomputern), die mit speziellen, im Hinblick auf den jeweiligen realen Problemhintergrund gestalteten Eingabe- und Ausgaberoutinen ausgestattet sind und bei deren Anwendung keine tiefergehenden Kenntnisse der linearen Optimierung vorausgesetzt werden.
III. Anwendungen: Mit Hilfe des Optimierungssystems ((1) - (5)) bzw. mit geringfügigen Modifikationen dieses Systems läßt sich eine Vielzahl realer Mischungsproblem abbilden. Einsatzfelder liegen v. a. in der Futtermittel-, der metallherstellenden (Hochofenbeschickung, Legierungen) sowie der chemischen Industrie.

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