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Dualitätstheorie der linearen Optimierung
I. Charakterisierung: Teilgebiet der linearen Optimierung, bei dem jeweils bestimmte Paare von linearen Optimierungssystemen (Dualpaare) zueinander in Beziehung gesetzt und gewisse Aussagen über derartige Paare hergeleitet werden. - Gewöhnlich werden folgende Dualpaare betrachtet: Das jeweils zuerst betrachtete Optimierungssystem ((1´) - (4´)) bzw. ((1´´) - (4´´)) nennt man primales System, das zugehörige, d. h. dazu in Beziehung gesetzte Optimierungssystem ((1´´) - (4´´)) bzw. ((1´) - (4´)) (zugehöriges) duales System. - Das 1. und das 4. Dualpaar nennt man auch symmetrisch: Zu jeder Strukturrestriktion (2´) bzw. (3´´) des primalen Systems existiert genau eine Nichtnegativitätsrestriktion (2´´) bzw. (3´) im zugehörigen dualen System und umgekehrt.
II. Dualitätssätze: 1. Existenzsatz: In einem Dualpaar von linearen Optimierungssystemen haben beide Systeme nur dann optimale Lösungen, wenn sie beide auch zulässige Lösungen besitzen. - 2. Dualitätssatz i. e. S.: Ist für jedes lineare Optimierungssystem eines Dualpaares eine zulässige Lösung gegeben, so ist jede genau dann optimal bezüglich des betreffenden Systems, wenn beide den gleichen Zielwert besitzen. - 3. Satz vom komplementären Schlupf: Tritt bei einem symmetrischen Dualpaar von linearen Optimierungssystemen beim Einsetzen einer optimalen Lösung in eine Restriktion von ((2´), (3´)) bzw. von ((2´´), (3´´)) eine Schlupfvariable auf (d. h. die betreffende Restriktion ist nicht als Gleichung erfüllt), so tritt beim Einsetzen einer optimalen Lösung in die zugehörige duale Restriktion aus ((2´´), (3´´)) bzw. aus ((2´), (3´)) kein Schlupf auf.
III. Ökonomische Bedeutung: Zwar werden in der Literatur verschiedentlich ökonomische Interpretationen von Dualpaaren linearer Optimierungssysteme angegeben, jedoch sind derartige Interpretationen i. d. R. didaktischer Natur und weisen wegen der mangelnden Realitätsnähe ihrer impliziten Imformationsannahmen nur in seltenen Fällen einen direkten Anwendungsbezug auf. Die Erkenntnisse der Dualitätstheorie waren und sind jedoch von großer Bedeutung für die Entwicklung von Lösungsverfahren für lineare Optimierungsprobleme. Im Rahmen der Spieltheorie können gewisse Fragestellungen mit Hilfe von bestimmten Dualpaaren von Optimierungssystemen untersucht werden.
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