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kanonisches lineares Gleichungssystem
lineares Gleichungssystem in kanonischer Form. 1. Begriff: Jedes lineare Gleichungssystem der Form
bzw. jedes System, das sich durch Umstellen der Reihenfolge von Gleichungen und/oder Umnumerieren von Variablen auf diese Form (1) bringen läßt. D. h. ein kanonisches Gleichungssystem zeichnet sich dadurch aus, daß in jeder Gleichung (mindestens) eine Variable vorkommt, deren Koeffizienten nur in dieser Gleichung den Wert Eins, in den übrigen dagegen den Wert Null annehmen (im System (1) die Variablen x1, x2, ..., xm). - 2. Bezeichnungsweisen: a) Genau m Variablen, die die vorstehend aufgeführte Eigenschaft besitzen, bezeichnet man als gebundene Variablen oder Basisvariablen, die übrigen als freie Variablen oder Nichtbasisvariablen. Weisen mehr als m Variablen die betreffende Eigenschaft auf, so muß u. U. erst festgelegt werden, welche dieser Variablen Basisvariable sein sollen. - b) Von einem linearen Gleichungssystem in natürlicher kanonischer Form spricht man, wenn - wie im vorstehenden System (1) - die ersten m Variablen Basisvariable sind. - 3. Lösungen: Aus einem k. l. G. läßt sich sofort die Lösungsmenge des Systems angeben:
mit B = Menge der Indizes der Basisvariablen; NB = Menge der Indizes der Nichtbasisvariablen; ti = eine beliebige, noch nicht numerisch spezifizierte reelle Zahl, die der Nichtbasisvariablen xi (i > NB) zugeordnet ist. Als Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems in natürlicher kanonischer Form (1) erhält man speziell:
Die Lösung, die man aus einem kanonischen linearen Gleichungssystem dadurch erhält, daß man den Nichtbasisvariablen den Wert 0 zuordnet, also:
nennt man eine Basislösung des Systems. Darüber hinaus nennt man auch die Basislösung eines jeden k. l. G., das aus einem anderen linearen Gleichungssystem (ursprüngliches System) durch lösungsneutrale Umformungen gewonnen werden kann, eine Basislösung dieses ursprünglichen Systems. - 4. Bedeutung: Die Tatsache, daß man aus einem k. l. G. sofort die Menge aller Lösungen des Systems angeben kann, macht man sich etwa bei Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme zunutze. Bei Anwendung des modifizierten Gauß-Algorithmus etwa formt man das ursprüngliche Gleichungssystem systematisch und mit Hilfe lösungsneutraler Umformungen in Richtung auf eine kanonische Form um, aus der man dann die Lösungsmenge des ursprünglichen Systems ablesen kann.
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