BLACK-SCHOLES FÓRMULA DE
La teoría de la valoración de opciones fue revolucionada con la publicación del trabajo de Fisher Black y Myron Scholes (1973) en el que presentaron su conocida fórmula para la determinación del valor teórico de una opción. Durante las décadas siguientes el problema de la valoración de opciones ha ocupado la mayor parte del tiempo de los investigadores en el campo de las finanzas. Más recientemente, las técnicas y modelos de valoración de opciones desarrollados muchos de ellos a partir del sugerente modelo Black-Scholes rebajando alguno de sus supuestos simplificadores, han sido aplicados a una gran variedad de situaciones que van más allá del simple mercado de opciones y productos similares.
Si las opciones se valorasen correctamente no debería ser posible realizar arbitraje sin riesgo creando carteras compuestas por opciones y acciones, en las que se incluye además la posibilidad de prestar o pedir prestado. Por medio de ajustes continuos en la composición de la cartera con el transcurso del tiempo y en función de la evolución del precio de la acción en la que la opción está denominada se puede lograr que el rendimiento de dicha cartera —denominada opción sintética— tenga un comportamiento idéntico al de la opción. Ésta es la idea básica de la que parten Black y Scholes para desarrollar su célebre fórmula, bajo los siguientes supuestos:
El tipo de interés a corto plazo es conocido y constante a lo largo del tiempo.
El precio de la acción sigue un recorrido aleatorio (random walk) de tipo logarítmico-normal, en el que la esperanza matemática y la varianza son constantes.
La acción no recibe dividendos ni ningún otro tipo de remuneración durante el tiempo de vida de la opción.
La opción es de tipo europeo, esto es, sólo se puede ejecutar a su vencimiento.
No existen costes de transacción.
Se puede tomar dinero prestado sin limitación alguna al tipo de interés a corto plazo.
Se pueden vender acciones al descubierto (venta a crédito) sin restricción ni penalización alguna.
Se denomina cartera protegida o a cubierto (hedged) a la cartera que por medio de la combinación de distintas posiciones consigue limitar o incluso eliminar el riesgo. Por ejemplo, se compran acciones (posición a largo) de una determinada clase porque se espera que su precio suba y se venden acciones al descubierto (posición a corto) de otra clase porque se espera que su precio baje, o se compran acciones y se venden al mismo tiempo opciones de compra o calis sobre estas mismas acciones, etcétera. Una cartera hedged es una cartera cuyo rendimiento es independiente de la coyuntura financiera. En equilibrio, la rentabilidad esperada de dicha cartera ha de ser igual a la rentabilidad de los activos libres de riesgos.
La fórmula Black-Scholes para calcular el precio teórico de una opción de compra (cali) europea es:
C = SN(dO-Ee-"N(d2) en donde C es el valor teórico de la opción, S el precio de la acción en la que la opción está denominada, E el precio del ejercicio de la opción, t el número de años que le restan de vida a la opción, e la base de los logaritmos naturales o neperianos (ln), r el interés continuo equivalente al interés i anual r = [ln (1 + /)], o la volatilidad anual (desviación estándar) del rendimiento de la acción, N (d) valor del área comprendida debajo de la distribución normal (0, 1) —esto es, de media cero y desviación estándar la unidad— entre -°° y du N (d2) lo mismo pero entre -°o y d2, siendo los valores de ambas abscisas los siguientes:
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