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Boolesche Algebra
1. Begriff: Nach dem englischen Mathematiker George Boole (1815-64) benannte Menge mit auf ihr erklärten Operationen, für die gewisse Gesetze gelten. Diese Gesetze sind teilweise den Gesetzen der Zahlenalgebra ähnlich, aber nicht identisch. - Definition: Eine Menge M = {a, b, c, ...} heißt Boolesche Algebra A., wenn gilt:
(1) Kommutativgesetze:
(2) Assoziativgesetze:
(3) Distributivgesetze:
(4) Existenz zweier Elemente n und e in M, für die a n = a, a e = a gilt;
(5) Existenz eines "komplementären" Elements a zu jedem Element a; es gilt und .
a, b, c, ... stellen die Elemente der Menge, und die Operationen zwischen den Elementen dar; n und e nennt man die "neutralen Elemente". - 2. Beispiele: a) In der Mengenlehre: Eine beliebige Menge G und alle Teilmengen dieser Menge bilden eine Boolesche Algebra A. bzgl. der Operationen Vereinigung () und Schnittmenge (); das komplementäre Element zu einer Menge M ist G M, das neutrale Element e ist G bzw. n ist die leere Menge { }. - b) In der Aussagenlogik: Boolesche Algebra A., wenn man = "oder" (), "und" () sowie – = "nicht" (). - c) In der Praxis: Eine Schaltalgebra ist eine Boolesche Algebra A.; es gibt ODER- und UND-Schaltungen. - Durch die Rechenmethoden der Boolesche Algebra A. lassen sich komplizierte Schaltungen, logische Aussagen, das Programmieren in der EDV u. a. m. u. U. stark vereinfachen.
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